El área y la Integral definida

Pensamos que una parte de las dificultades que presentan los alumnos para el estudio del Análisis Matemático se debe a la poca familiaridad del alumno con las funciones, sus representaciones gráficas, sus aplicaciones.
También consideramos que dicho estudio es culturalmente importante. Aunque no sigan estudiando matemática, aunque no sigan estudiando, para nuestros alumnos habrá sido muy provechoso construir gráficos, y el estudio de algunas funciones.
Pero que tal si empezamos algún encuentro con nuestros alumnos contando algo que responda la pregunta infinitamente repetida por ellos: “Y esto… ¿para qué sirve?”.

El encuentro podría empezar con la frase
“Si quiere salvar a su hijo de la polio, puede rezar o puede vacunarlo.
—Carl Sagan, El mundo y sus demonios

Y siguiendo con alguna historia de Issac Newton y los célebres problemas de Bernoulli en donde además se relata que Jacob Bernoulli inventó el término "integral" en 1690.
Pero antes deberíamos recordar algo sobre Arquímedes y su método de exhausión como antecedente al origen del concepto de límite y área… y para ello contamos el cuento:
¿Quién se queda con el vino sobrante?
Se cuenta que en época de la antigua Grecia un viñatero (con muy buena cabeza para el cálculo) pensó en la venta de los barriles de vino de sus bodegas.
En esa época se cobraba el vino en función del volumen del barril


Y para medirlo y darle un precio se calculaba como el promedio entre los volúmenes de los cilindros imaginarios, uno exterior con base circular medida en el medio del barril y el otro interior con la base de cualquiera de las tapas del barril.
Pero este promedio era una aproximación al verdadero volumen del barril y por ello a uno de los viñateros se le ocurrió la idea de cortar al barril.

Lo que se le ocurrió al viñatero fue “rebanar” el barril en tres cilindros, y así encontró un volumen mas ajustado que el promedio usado, luego en 4 rebanadas y por en pequeños cilindros con altura fija h y así calcular el volumen de cada cilindrito. Así encontró un volumen mas preciso.
Ese justamente es el concepto de Volumen como suma de volúmenes con altura infinitesimal. En el plano sería el Área y unimos el concepto con el de Integral Definida
Podemos ver una simulación muy interesante sobre la integral definida y visualizamos en el plano lo que ocurre en el espacio con el barril de vino y el problema de ¿Quién se queda con el vino que sobra?